\documentclass{article} 

\usepackage[english]{babel}
\usepackage[a4paper,top=2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm,marginparwidth=1.75cm]{geometry}
\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{multicol}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{float}
\usepackage{lipsum}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{listings}

\title{Euro Moon Rover}

\author{
    van Iterson, Arne\\
    Student Nr: 1798423
    \and
    van Vliet, Stein\\
    Student Nr: 1811402
}

\makeindex

\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
    In dit document wordt onderzocht of de voorgestelde motor en tandwieloverbrenging voldoet aan de eisen van de rover. 
\end{abstract}

\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\linewidth}{0.4pt}}
\setlist[itemize]{itemjoin=\hspace*{\fill},itemjoin*=\hspace*{\fill}}

\begin{multicols}{2}
    
    \section{Inleiding}
        De Iris was de eerste onbemande maanrover ontwikkeld door NASA. De Hogeschool Utrecht werkt samen met andere hogescholen voor het ontwikkelen van een Europese versie van de Iris; De Euro Moon Rover.

        \begin{figure}[H]
            \includegraphics[width=\linewidth]{./res/rover.png}
            \caption{Euro Moon Rover}
            \label{fig:rover}
        \end{figure}

    \section{Onderzoek}
        Voor de Eurorover is een set van motor en tandwieloverbrenging voorgesteld, het gaat om de RE25 1187xx motor en de Planetary Gearhead GP xx xx van de firma Maxon.
        In dit document wordt onderzocht of dat de voorgestelde motor en tandwieloverbrenging voldoet aan de eisen van de rover.

        \subsection{Eigenschappen}
            De kar heeft de volgende eigenschappen:
            \begin{align*}
                m_{rover} &= 6 & [kg] \\
                w &= 400 & [mm] \\
                l &= 250 & [mm] \\
                \theta_{typ} &= 20 & [deg] \\
                \theta_{max} &= 30 & [deg]
            \end{align*}

            De wielen hebben de volgende eigenschappen:
            \begin{align*}
                r &= 0.075 & [m] \\
                \mu_s &= 0,9 & [-] \\
                C_r &= 0,1 & [-] \\
                J &= 2.1 \cdot 10^{-3} & [kg\cdot m^2]
            \end{align*}

        \subsection{Eisen}
            Met de aandrijving moeten de volgende eisen worden voldaan:
            \begin{align*}
                v_{max} &= 2.1 & [m/s] \\
                a_{acc} &= 0.7 & [m/s^2] \\
                a_{dec} &= 0.5 & [m/s^2] \\
                \alpha_{acc} &= \frac{a_{acc}}{r} = 9.33 & [rad/s^2]\\
                \alpha_{dec} &= \frac{a_{dec}}{r} = 6.66 & [rad/s^2]\\
            \end{align*}


    \section{Lasteisen of -wensen}
        Om te bepalen wat de maximale lasteisen of -wensen van de motor zijn, worden de eisen van de rover onder verschillende scenario's verdeeld. De rover moet in staat zijn om te versnellen, constant te rijden en te vertragen op:
        \begin{itemize}
            \item een vlakke ondergrond
        \end{itemize}

        De rover moet constant de maximum snelheid kunnen rijden op:
        \begin{itemize}
            \item een opgaande helling van 20 graden
            \item een neergaande helling van 20 graden
        \end{itemize}

        De rover heeft de mogelijkheid om grotere hellingen, tot 30 graden, te beklimmen; Maar dit hoeft niet met de gegeven eisen voor versnelling en vertraging. 
        
        De rover is in staat om, op elk gegeven oppervlak, het gewicht eerlijk over de wielen te verdelen; Dit maakt het mogelijk om de lasten voor slechts één wiel te berekenen. In het volgende hoofdstuk worden deze scenario's verder uitgewerkt. Het zwaarste resultaat bepaalt het type motor dat gebruikt zal worden. Omdat het gewicht van de rover wordt verdeeld over de wielen, zal het volgende gewicht worden gebruikt in de berekeningen
        \begin{align*}
            m &= \frac{m_{rover}}{4}\\
            &= \frac{6}{4}\\
            &= 1.5 & [kg]
        \end{align*}

    \section{Scenario's}
        In dit hoofdstuk worden afbeeldingen gebruikt om de verschillende scenario's te visualiseren. Deze afbeeldingen zijn niet op schaal. 

        $F_{eff}$ is het resultaat van de aandrijving ($F_{aand}$) min de rolweerstand ($F_{rol}$) en eventueel een component van de zwaartekracht ($F_{z}$). De gewenste versnelling bepaalt de nodige resulterende kracht met de volgende formule:
        \begin{equation}
            F_{eff} = m \cdot a
        \end{equation}

        \subsection{Vlakke ondergrond}
            \begin{figure}[H]
                \includegraphics[width=\linewidth]{./res/s1.png}
                \caption{Vlakke ondergrond, bewegingsrichting rechts}
                \label{fig:s_flat}
            \end{figure}

            \subsubsection{Constante snelheid}
                Voor de constante snelheid geldt dat $a = 0\ [ms^{-2}]$ dus $F_{eff} = 0\ [N]$. De enige kracht die overblijft is de rolweerstand. De aandrijvingskracht $F_{aand}$ moet gelijk zijn aan de rolweerstand $F_{rol}$.

                De rolweerstand is afhankelijk van de normaalkracht $F_N$, $F_N$ is in dit geval gelijk aan de zwaartekracht $F_z$ dus:
                \begin{align*}
                    F_N &= F_z \\
                    g_{maan} &= 1.625 & [m/s^2] \\
                    F_z &= m \cdot g \\
                    &= 1.5 \cdot 1.625 \\
                    &= 2.4375 & [N]\\
                    \\
                    F_{rol} &= C_r \cdot F_N\\
                    &= 0.1 \cdot 2.4375 \\
                    &= 0.24375 & [N]\\
                    \\
                    F_{aand} &= F_{rol} \\
                    \\
                    T_{as} &= F_{aand} \cdot r\\
                    &=F_{rol} \cdot r\\
                    &=18.28125 & [mNm]
                \end{align*}

            \subsubsection{Versnellen}
            Bij het versnellen en vertraging moet rekening worden gehouden met de massatraagheid van het wiel. De massatraagheid wordt bepaald met behulp van de gegeven waarden $\alpha_{acc}$ en $\alpha_{dec}$ en beschreven in het variabel $T_{traag}$.
            \begin{align*}
                F_{eff} &= m \cdot a \\
                &= 1.5 \cdot 0.7 \\
                &= 1.05 & [N] \\
                F_{aand} &= F_{eff} + F_{rol} \\
                &= 1.05 + 0.24375 \\
                &= 1.29375 & [N] \\
                \\
                T_{traag} &= J \cdot \alpha_{acc} \\
                &= 2.1\cdot10^{-3}\cdot 9.33 \\
                &= 19.593 & [mNm]
                \\
                T_{as} &= F_{aand} \cdot r +T_{traag}\\
                &=(F_{eff}+F_{rol}) \cdot r +T_{traag}\\
                &= 97.03125 + 19.593 \\
                &= 116.62425 & [mNm]
            \end{align*}

            \subsubsection{Vertragen}
            \begin{align*}
                F_{eff} &= m \cdot a \\
                &= 1.5 \cdot 0.5 \\
                &= 0.75 & [N] \\
                F_{aand} &= F_{eff} - F_{rol} \\
                &= 0.75 - 0.24375\\
                &= 0.50625 & [N] \\
                \\
                T_{traag} &= J \cdot \alpha_{dec} \\
                &= 2.1\cdot10^{-3}\cdot 6.66 \\
                &= 13.986 & [mNm]
                \\
                T_{as} &= F_{aand} \cdot r + T_{traag}\\
                &=(F_{eff}-F_{rol}) \cdot r  + T_{traag}\\
                &= 37.96875 + 13.986 \\
                &= 51.95475 & [mNm]
            \end{align*}

        \subsection{Dalende ondergrond}
            \begin{figure}[H]
                \includegraphics[width=\linewidth]{./res/s2.png}
                \caption{Dalende ondergrond, bewegingsrichting rechts}
                \label{fig:s_fall}
            \end{figure}

            In dit geval is de zwaartekracht niet haaks aan de ondergrond, de zwaartekracht verdeelt zich in een component loodrecht op de ondergrond een een component parallel aan de ondergrond. De component loodrecht op de ondergrond is gelijk aan de normaalkracht $F_N$.

            \begin{align*}
                g_{maan} &= 1.625 & [m/s^2] \\
                F_{z} &= m \cdot g \\
                &= 1.5 \cdot 1.625 \\
                &= 2.4375 & [N] \\
                \\
                \theta &= 20 & [deg] \\
                \\
                F_N &= F_{z1} \\
                F_{z1} &= \cos{\theta}\cdot F_{z}\\
                &= \cos{20}\cdot 2.4375 \\
                &= 2.2905 & [N] \\
                F_{z2} &= \sin{\theta}\cdot F_{z}\\
                &= \sin{20}\cdot 2.4375 \\
                &= 0.834 & [N] \\
            \end{align*}

            De rolweerstand in dit geval is:
            \begin{align*}
                F_{rol} &= C_r \cdot F_N\\
                &= 0.1 \cdot 2.2905 \\
                &= 0.22905 & [N]
            \end{align*}

            Voor een constante snelheid dient $F_{eff}$ nul te zijn dus:
            \begin{align*}
                F_{eff} &= F_{aand} + F_{z2} - F_{rol} = 0\\
                &= F_{aand} + 0.834 - 0.22905 = 0\\
                F_{aand} &= 0.22905 - 0.834\\
                &= -0.60495 & [N]
                \\
                T_{as} &= F_{aand} \cdot r \\
                &=-45.37125 & [mNm]
            \end{align*}

            De motor moet in dit geval dus tegenkracht leveren om de kar op en constante snelheid te houden.

        \subsection{Stijgende ondergrond}
            \begin{figure}[H]
                \includegraphics[width=\linewidth]{./res/s3.png}
                \caption{Stijgende ondergrond, bewegingsrichting rechts}
                \label{fig:s_rise}
            \end{figure}
            In dit scenario werkt de zwaartekracht tegen de aandrijving, de rest blijft hetzelfde als bij de dalende ondergrond. Voor $F_{aand}$ geldt:

            \begin{align*}
                F_{eff} &= F_{aand} - F_{z2} - F_{rol} = 0\\
                F_{aand} &= F_{z2} + F_{rol}\\
                &= 0.834 + 0.22905\\
                &= 1.06305 & [N]
                \\
                T_{as} &= F_{aand} \cdot r \\
                &=(F_{z2}+F_{rol}) \cdot r \\
                &= 79.72875 & [mNm]
            \end{align*}

        \subsection{Slip}
            In de eigenschappen van de wielen is de statische wrijvingscoëfficiënt $\mu_s$ gegeven. $F_{eff}$ mag niet groter zijn dan de maximale statische wrijvingskracht $F_{s,max}$. De maximale statische wrijvingskracht in dit geval is: 
            \begin{align*}
                F_{s,max} &= \mu_s \cdot F_N \\
                &= 0.9 \cdot 2.4375 \\
                &= 2.19375 & [N]
            \end{align*}

            Als $F_{eff}$ groter is dan $F_{s,max}$ zal er slip optreden. In dit geval moet de aandrijvingskracht $F_{eff}$ gelijk zijn aan $F_{s,max}$. 
            
            Er is geen van de scenario's sprake van slip. 

    \section{Selectie}
        Uit de besproken scenario's is gebleken dat de maximale koppel benodigd om aan de eisen te voldoen gelijk is aan $116.62425 \ [mNm]$. 

        De RE25 1187xx Serie van Maxon kent 56 motoren. Deze hebben allemaal dezelfde fysieke maten, maar andere opbouw. Het toerental van deze serie ligt tussen de 4790 en 14700 rpm. Gegeven de benodigde maximale snelheid van 2.1 m/s en de diameter van de wielen van 0.15 m, geeft dit een toerental van;
        \begin{align*}
            r &= 0.075 & [m] \\
            v_{max} &= 2.1 & [m/s] \\
            s &= 2\pi \cdot r \\
            &= 0.471238898 & [m] \\
            n &= \frac{v_max}{s} \\
            &= \frac{2.1}{0.471238898} \\
            &= 4.456 & [rps] \\
            &= 267.36 & [rpm]
        \end{align*}

        We hebben dus een overbrenging nodig, maar dit was al bekend. Wetende de nodige rpm van de wielen kunnen we bepalen wat de grootst mogelijke vertanding is;
        \begin{align*}
            n_{max} &= 14700 & [rpm] \\
            \frac{n_{max}}{n} &= \frac{14700}{267.36} \\
            &\approx 1:55
        \end{align*} 

        Om de motor zo effient mogelijk te laten werken zijn de motorkarakteristieken tegenover de lasteisen geplot voor een aantal verschillende motoren: \\
        \begin{figure}[H]
            \includegraphics[width=\linewidth]{./images/xx49P.png}
            \caption{Vermogengrafiek van xx49 motor}
            \label{fig:49P}
        \end{figure}
        \begin{figure}[H]
            \includegraphics[width=\linewidth]{./images/xx56P.png}
            \caption{Vermogengrafiek van xx56 motor}
            \label{fig:56P}
        \end{figure}
        \begin{figure}[H]
            \includegraphics[width=\linewidth]{./images/xx57P.png}
            \caption{Vermogengrafiek van xx57 motor}
            \label{fig:57P}
        \end{figure}
        Uit de vermogenskarakteristieken van de motoren valt op dat ze het allemaal beter doen naarmate het toerental toeneemt.
        Aangezien de rover een maximale rpm van ongeveer 270 moet bereiken, wil dat zeggen dat de xx57 motor minder vertand zal hoeven worden dan de rest.
        Grotere vertanding zorgt voor een lagere maximale efficiëntie, blijkt uit de datasheets van Maxon.
        Hieruit valt te concluderen dat de xx57 motor qua vertanding de beste keuze is.

        \begin{figure}[H]
            \includegraphics[width=\linewidth]{./images/xx49karak.png}
            \caption{Motorkarakteristiek van xx49 motor}
            \label{fig:49K}
        \end{figure}
        \begin{figure}[H]
            \includegraphics[width=\linewidth]{./images/xx56karak.png}
            \caption{Motorkarakteristiek van xx56 motor}
            \label{fig:56K}
        \end{figure}
        \begin{figure}[H]
            \includegraphics[width=\linewidth]{./images/xx57karak.png}
            \caption{Motorkarakteristiek van xx57 motor}
            \label{fig:57K}
        \end{figure}

        In de karakteristieken valt op hoe de motoren
    \section{Conclusie}
        De gekozen motor, overbrenging-combinatie voor de Euro Moon Rover is de RE25 118757 met de Planetary Gearhead GP 22 A (134158). De overbrenging is een 1:14 overbrenging met een maximale continue koppel van 0.5 Nm. Dit is ruim voldoende voor de bepaalde scenarios. 
        Daarnaast komt het RPM van de motor samen met deze overbrenging op ongeveer 3745 RPM. Bij de 118757 is dit het nominaal toerental en is het rendement het hoogst. 
\end{multicols}
\end{document}